经验直达：
- 怎样求一个函数的值域
- 函数的值域的求法
- 函数值域的求法
一、怎样求一个函数的值域
1.直接法：从自变量的范围出发，推出值域 。
2.观察法：对于一些比较简单的函数，可以根据定义域与对应关系，直接得到函数的值域 。
3.配方法：（或者说是最值法）求出最大值还有最小值，那么值域就出来了 。
例题：y=x^2 2x 3x∈【-1，2】
先配方 ， 得y=(x 1)^2 1
∴ymin=(-1 1)^2 2=2
ymax=(2 1)^2 2=11
4.拆分法：对于形如y=cx d ， ax b的分式函数，可以将其拆分成一个常数与一个分式，再易观察出函数的值域 。
5.单调性法：y≠ca.一些函数的单调性，很容易看出来 。或者先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的值域 。
6.数形结合法，其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目 。
7.判别式法：运用方程思想，根据二次方程有实根求值域 。
8.换元法：适用于有根号的函数
例题：y=x-√（1-2x)
设√（1-2x)=t(t≥0)
∴x=(1-t^2)/2
∴y=(1-t^2)/2-t
=-t^2/2-t 1/2
=-1/2(t 1)^2 1
∵t≥0 ， ∴y∈（-∝，1/2）
9：图像法，直接画图看值域
这是一个分段函数，你画出图后就可以一眼看出值域 。
10：反函数法 。求反函数的定义域，就是原函数的值域 。
例题：y=(3x-1)/(3x-2)
先求反函数y=(2x-1)/(3x-3)
明显定义域为x≠1
所以原函数的值域为y≠1
二、函数的值域的求法
求
函数值域的几种常见方法
1．直接法：利用常见函数的值域来求
一次函数y=ax b(a
0)的定义域为r，值域为r；
反比例函数
的定义域为{x|x
0}，值域为{y|y
0}；
二次函数
的定义域为r，
当a>0时，值域为{
}；当a<0时 ， 值域为{
}.
例1．求下列函数的值域
①
y=3x 2(-1
x
1)
②
③
④
解：①∵-1
x
1，∴-3
3x
3，
∴-1
3x 2
5，即-1
y
5 ， ∴值域是[-1，5]
②∵
∴
即函数
的值域是
{
y|
y
2}
③
④当x>0，∴
=
，
当x<0时，
=－
∴值域是
[2，
).（此法也称为配方法）
函数
的图像为：
2．二次函数比区间上的值域(最值)：
例2
求下列函数的最大值、最小值与值域：
①
；
解：∵
，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2.
①∵抛物线的开口向上，函数的定义域r，
∴x=2时 ， ymin=-3
,无最大值；函数的值域是{y|y
-3
}.
②∵顶点横坐标2
[3,4]，
当x=3时，y=
-2；x=4时，y=1；
∴在[3,4]上，
=-2，
=1；值域为[-2 ， 1].
③∵顶点横坐标2
[0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2,
∴在[0,1]上，
=-2 ，
=1；值域为[-2，1].
④∵顶点横坐标2
[0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3,
x=5时，y=6,
∴在[0,1]上，
=-3，
=6；值域为[-3，6].
注：对于二次函数
,
⑴若定义域为r时，
①当a>0时，则当
时 ， 其最小值
；
②当a<0时，则当
时，其最大值
.
⑵若定义域为x
[a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].
①若
[a,b],则
是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较
的大小决定函数的最大（?。┲?
②若
[a,b],则[a,b]是在
的单调区间内，只需比较
的大小即可决定函数的最大（?。┲?
注：①若给定区间不是闭区间 ， 则可能得不到最大（?。┲担?br>②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.
3．判别式法（△法）：
判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式 ， 解题中要注意二次项系数是否为0的讨论
例3．求函数
的值域
方法一：去分母得
(y-1)
(y 5)x-6y-6=0
①
当
y11时
∵x?r
∴△=(y 5)
4(y-1)×6(y 1)
0
由此得
(5y 1)
0
检验
时
（代入①求根）
∵2
?
定义域
{
x|
x12且
x13}
∴
再检验
y=1
代入①求得
x=2
∴y11
综上所述，函数
的值域为
{
y|
y11且
y1
}
方法二：把已知函数化为函数
(x12)
∵
x=2时
即
说明：此法是利用方程思想来处理函数问题 ， 一般称判别式法.
判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论.
4．换元法
例4．求函数
的值域
解：设
则
t
0
x=1-
代入得
5．分段函数
例5．求函数y=|x 1| |x-2|的值域.
解法1：将函数化为分段函数形式：
， 画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y
3}.
解法2：∵函数y=|x 1| |x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1 ， 2的距离之和，∴易见y的最小值是3，∴函数的值域是[3，
].
如图
两法均采用“数形结合”，利用几何性质求解 ， 称为几何法或图象法.
三、函数值域的求法
【函数的值域的求法 怎样求一个函数的值域】求函数值域的方法有：观察法、配方法、常数分离法、换元法、逆求法、基本不等式法、求导法、数形结合法和判别式法等 。在函数的经典定义中，因变量的取值范围叫做这个函数的值域，在函数现代定义中是指定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有的象所组成的集合 。
函数值域的求法
一、配方法
将函数配方成顶点式的格式，再根据函数的定义域，求得函数的值域 。
二、常数分离
这一般是对于分数形式的函数来说的，将分子上的函数尽量配成与分母相同的形式 ， 进行常数分离，求得值域 。
三、逆求法
对于y=某x的形式，可用逆求法，表示为x=某y，此时可看y的限制范围，就是原式的值域了 。
四、换元法
对于函数的某一部分，较复杂或生疏，可用换元法，将函数转变成我们熟悉的形式 ， 从而求解 。
五、单调性
可先求出函数的单调性(注意先求定义域)，根据单调性在定义域上求出函数的值域 。
六、基本不等式
根据我们学过的基本不等式，可将函数转换成可运用基本不等式的形式，以此来求值域 。
七、数形结合
可根据函数给出的式子，画出函数的图形，在图形上找出对应点求出值域 。
八、求导法
求出函数的导数 ， 观察函数的定义域，将端点值与极值比较 ， 求出最大值与最小值，就可得到值域了 。