【附】为方便有需要者编辑，特附纯文本如后 。另外，文末提供有PPT照片版 。
跃峰奥数PPT1代数组合2-4
（研究特例归纳通式之二维通式）
【代数2-4】设定义在有序正整数对上的函数f满足如下条件：
（1）f（x，x）=x；
（2）f（x，y）=f（y，x）；
（3）（x y）f（x ， y）=yf（x ， x y） 。
求f（x，y） 。（冯跃峰编题）
【题感】从目标看，由于关系式复杂，难以“解”方程求通式 。
只能先研究特例（适当赋值），寻找规律 。
【研究特例】在（1）中令x=y=1 ， 2，…，n，得f（1，1）=1，f（2，2）=2，…，f（n，n）=n 。
进而由（3），有f（1，2）= 1·f（1 ， 1 1）=（1 1）f（1，1）=2，
如此下去，由数学归纳法可知 ， f（1，n）=n 。
下面讨论f（2，n）=？这可先将条件（3）改为常见的递归方式 。
【建立递归】将（3）得变形为f（x，x y）= f（x，y），
所以，f（2，3）=f（2，2 1）= f（2 ， 1）=3 f（1，2）=3·2=6，
f（2 ， 4）=f（2，2 2）= f（2，2）=2·2=4 ，
f（2，5）=f（2，2 3）= f（2 ， 3）= ·6 =10，…
整体序列没有规律，但分解为两个子列 ， 则有明显规律 。
【子列通式】由数学归纳法可知，f（2，n）=
下面寻找该分段函数的统一解析式（序号表示，同构表示） 。
先考虑“序号”表示 ， 其中f（2，n）=2n（n为奇）合乎要求 。而f（2，n）=n（n为偶）可用“2、n”表示为f（2 ， n）= （n为偶） 。
再考虑同构表示，需将f（2，n）=2n（n为奇）改进为分式形式：f（2 ， n）= （n为奇） 。
【跃峰奥数PPT1代数组合2-4：研究特例归纳通式之二维通式】接着又考虑“序号”表示 ， 其中的分母“1”、“2”都要用2、n表示为g（2，n），其中g（2，n）=1（n为奇），g（2 ， n）=2（n为偶） 。
合乎上述要求的g（2，n）是什么？——若一下还难以发现，则再跳跃地（x、y同时增加）实验几个特例：
【研究特例】f（3 ， 5）=f（3，3 2）= f（3，2）= ·f（2 ， 3） = ·6=15=。
f（4，6）=f（4，4 2）= f（4，2）=3·f（2，4） =3·4=12=。
【归纳通式】由此可以猜想：f（x ， y）= =[x，y] 。
【证明“纯粹性”】记满足条件（1）（2）（3）的函数f（x，y）的集合为A ， 函数f（x，y）=[x，y]的集合为B ， 我们证明A B：即f（x，y）=[x，y]满足条件（1）（2）（3） 。
实际上，因为对任何正整数a、b ， 有[a，b]=，于是
（3）式左边=（x y）f（x，y）=（x y）[x，y] = （x y） =。
其中注意将[x，y]换成 ， 是因（x ， y）可利用“辗转相除法”公式进行变换 。
（3）式右边=yf（x，x y）= y[x，x y]=y· =y· = ，
所以条件（3）满足 。而（1）（2）显然满足 。
【证明“完备性”】B A：即函数f（x，y）满足（1）（2）（3），则必有f（x ， y）=[x，y] 。
注意到递归关系：f（x，x y）= f（x ， y），无法由f（x，y）得到f（x 1，y），但由f（x y，y）可得到f（x，y），其中x' y'由（x y） y变成x y，其值减少 ， 所以可对x y归纳（成批归纳法） 。
【分批归纳法】当x y=2时，x=y=1，此时f（x，y）= f（1，1）=1=[1 ， 1] =[x，y]，结论成立 。
设x y
当x y=k时，由对称性，不妨设x≤y 。
若x=y，则f（x，y）= f（x，x）=x=[x，x] =[x，y]，结论成立 。
若x
【增量代换】令y-x=z，则y=x z
f（x，y）=f（x，x z）=（递归关系） f（x，z）
=（归纳假设） [x，z] = ·
= = = = [x，y]，结论成立 。
综上所述，所求的f（x，y）= [x，y] 。
【新写】我们证明：f（x，y）=[x ， y] 。
先证明f（x，y）=[x ， y]满足条件（1）（2）（3） 。
实际上，（3）式左边=（x y）f（x，y）=（x y）[x，y] = （x y） =。
（3）式右边=yf（x，x y）= y[x，x y]=y· =y· = ，
所以条件（3）满足 。而（1）（2）显然满足 。
再证明：若函数f（x，y）满足（1）（2）（3） ， 则必有f（x，y）=[x ， y] 。
对x y归纳 。当x y=2时，x=y=1，此时f（x ， y）= f（1，1）=1=[1，1] =[x ， y]，结论成立 。
设x y
若x=y ， 则f（x，y）= f（x ， x）=x=[x，x] =[x，y]，结论成立 。
若x
f（x，y）=f（x，x z）= f（x，z）= [x，z] = ·
= = = = [x，y] ， 结论成立 。
综上所述，所求的f（x，y）= [x，y] 。
