很多时候，我们知道三角形三边的长 ， 要求三角形的面积 。你知道怎样求吗？
设三角形三边长为a、b、c，作c边上的高h把c分成两段x和y 。我们的做法是先求出高h的长度，进而用最基本的面积公式S△ABC=ch/2求出三角形的面积 。
三角形面积公式推导
由勾股定理得：
a2-x2=b2-y2，①
x y=c 。②
②代入①得：
a2-x2=b2-(c-x)2=b2-c2-x2 2cx，
x=(a2 c2-b2)/2c 。③
③代入②得：
y=(b2 c2-a2)/2c 。④
我们用③或④都可以求出h 。
h2=a2-x2
=a2-((a2 c2-b2)/2c)2
=(2a2b2 2b2c2 2c2a2-a?-b?-c?)/4c2
这样得到的h有四次方，数据比较大，不太好算 。我们可以想办法化成好算的形式 。
我们看它的分子部分：
2a2b2 2b2c2 2c2a2-a?-b?-c?
这是一种对称形式 ， 应该可以分解因式 。那么，怎样去分解因式呢？
我们先考察以下多项式的平方：
(a2 b2 c2)2
=a? b? c? 2a2b2 2a2c2 2b2c2，
【已知三角形三边的长，怎样求三角形的面积？我们来推导求面积公式】(a2 b2-c2)2
=a? b? c? 2a2b2-2a2c2-2b2c2，即
-(a2 b2-c2)2
=-a?-b?-c?-2a2b2 2a2c2 2b2c2，
这个有点像，还有一个项符号不同 。
等式两边同时加上4a2b2：
4a2b2-(a2 b2-c2)2
=-a?-b?-c? 2a2b2 2a2c2 2b2c2
所以有
-a?-b?-c? 2a2b2 2a2c2 2b2c2
=4a2b2-(a2 b2-c2)2
=(2ab a2 b2-c2)(2ab-a2-b2 c2)
=((a b)2-c2)(c2-(a2-b2))
=(a b c)(a b-c)(c a-b)(c-a b)
所以，
h2=(a b c)(a b-c)(c a-b)(c-a b)/4c2，
h=√((a b c)(a b-c)(c a-b)(c-a b))/2c ，
S△ABC=ch/2
=√((a b c)(a b-c)(c a-b)(c-a b))/4 。
这个三角形面积公式没有平方项 ， 比较好算 。
还可以把4放进根号里面继续化简：
S△ABC
=√(((a b c)(a b-c)(c a-b)(c-a b))/16)
=√(((a b c)/2)((a b-c)/2)((c a-b)/2)((c-a b)/2))
=√(((a b c)/2)((a b c-2c)/2)((c a b-2b)/2)((c a b-2a)/2))
(a b c)/2是周长的一半，记为p，则
S△ABC=√(p(p-a)(p-b)(p-c)) 。
这就是著名的海伦公式 。这种形式计算量最?。?也比较好记 。
总结一下：在推导用三角形的三边长求三角形的面积时，在化简过程中遇到分解因式，最终化成比较简便的形式，便于计算和记忆 。